三角函数积化和差证明公式

三角函数积化和差三角函数恒等式

计算值sin(u)sin(v), sin(u)cos(v) 和 cos(u)sin(v) a对选定的值 u 和 v 角, 使用下面的公式
sin(u)sin(v) = ½(cos(u-v) – cos(u+v))
sin(u)cos(v) = ½(sin(u+v) + sin(u-v))
cos(u)sin(v) = ½(sin(u+v) – sin(u-v))
cos(u)cos(v) = ½(cos(u+v) + cos(u-v))

请输入 u 角度: 请输入 v 角度:      结果

积化和恒等式证明

积化和差与和化积差恒等式可以容易地导出如下所示:
sin(u)sin(v) = ½(cos(u-v) – cos(u+v))

$$\sin u . \sin v = \dfrac{1}{2}{[\cos(u-v) – \cos(u+v)]}$$ 我们知道，

cos(u−v) = cosu cos v+sin u sin v

cos(u+v) = cosu cos v+sin u sin v

$$\cos (u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$$ -通过减去两侧方程得到

cos(u−v)−cos(u+v)=cos u cos v+sin u sin v−(cos u cos v−sin usin v)

cos(u−v)−cos(u+v)=cos u cos v+sin u sin v−(cos u cos v+sin usin v)

cos(u−v)−cos(u+v) = 2sin u sin v

$$\cos (u - v) - \cos (u + v) = 2 \sin u \sin v$$ 现在把这两个侧面

                                    

$$\dfrac{1}{2} [\cos (u - v) - \cos (u + v)] = \sin u \sin v$$

 

 

 

同样的其他方程的也被证明。